01-负二项分布
1 基本概念：什么是负二项分布？
负二项分布（Negative Binomial Distribution）是离散型概率分布，描述的是：
“在一系列独立的伯努利试验中，直到出现第 kk 次成功为止，所需的失败次数（或总次数）。”
你可以把它看作是二项分布的“逆过程”：
二项分布：给定试验次数 nn，观察“成功”次数；
负二项分布：给定成功次数 kk，观察要达成这些成功，需要进行多少次试验。
2 举个例子
比如你在投篮，命中率是 0.3，你想看看你需要投几次，才能命中 3 个球。这时就用负二项分布。
假设：
每投一次是一次“伯努利试验”（成/败）；
投中是“成功”，不中是“失败”；
你想知道，为了投中 3 次，可能要投几次（或者会有几个“失败”）？
这时候就服从负二项分布。
3 负二项分布的定义与公式
3.1 参数：
k：成功次数（固定的）
p：单次成功的概率
x：失败次数（我们想知道的随机变量）
3.2 概率质量函数（PMF）：
\(P(X=x)=(x+k−1k−1)pk(1−p)x,x=0,1,2,...P(X = x) = \binom{x + k - 1}{k - 1} p^k (1-p)^x, \quad x = 0, 1, 2, ...\)
这表示：在出现第 k 次成功之前，有 x 次失败。
4 负二项分布的均值和方差
记住两个重要的公式：
期望（均值）：
\(μ= \frac{k(1-p)}{p}\)
方差：
\(σ^2= \frac{k(1-p)}{p^2}\)
它的方差 > 均值，也就是 “过度离散”（overdispersion），这点很重要，是很多统计模型选择它的原因。
5 与二项分布的比较
| 特征 | 二项分布 | 负二项分布 |
| 固定参数 | 总试验次数 nn | 成功次数 kk |
| 随机变量 | 成功次数 xx | 失败次数 xx 或试验总次数 |
| 常用于 | 有限次数内成功次数 | 达成几次成功需失败多少次 |
| 期望 | np | \(k(1−p)/p\) |
| 方差 | np(1−p) | \(k(1−p)/p^2\) |
生物统计学：如动物聚集数目建模；
毒理学试验：比如记录小白鼠死亡个数；
保险/风险建模：建模事故、疾病发生次数；
回归分析中的离散因变量建模（如负二项回归），适用于计数数据方差 > 均值的情况。
6 负二项分布的两种形式
在统计学里，负二项分布还有两种理解方式：
| 类型 | 描述 | 用于 |
| 失败数模型 | 固定成功次数 k，求失败数 x | 生物试验、理论建模 |
| 计数模型（r, μ形式） | 固定均值 μ 和形状参数 k | 回归分析中常用 |
第二种形式用的是“均值-方差”形式，更适用于建模。
7 总结记忆法
“负二项 = 重复试验直到成功k次”
它解决的是：“我得失败几次，才能成功这么多次？”