卡方检验

作者

Simonzhou

发布于

2025年2月27日

修改于

2025年3月30日

1 非参数检验

1.1 卡方检验

1.1.1 分类资料差异比较的方法

资料特征	数据特征		完全随机设计		配对设计	随机区组
		单组	两组	多组
分类资料	无序分类资料	二项分布直接计算概率法、正态近似法（Z检验）、率的正态近似	独立四格表$\chi^2$检验、Fisher确切概率法	R×C交叉表$\chi^2$检验、Fisher确切概率法	配对四格表$\chi^2$检验，配对R×R列联表$\chi^2$检验	/
	等级资料	Wilcoxon符合秩和检验	wilcoxon秩和检验	Kruskal-Wallis H检验	Wilcoxon符合秩和检验	Friedman M秩和检验

1.1.2 单个率的比较

方法	内容
确切概率法	1. 适用情形：样本量较小或$\pi_0$不靠近0.5时作单侧检验的情形。 2. 计算公式： (1)最多有k例阳性的概率：$Pr(X\le k)$ (2)最少有k例阳性的概率：$Pr(X\ge k)$
正态近似法	1. 适用情形：样本量较大时，$n\pi,n(1-\pi)$均大于5； 2. 计算公式：分子为$p-\pi_0$，分母为率的标准误

notice：上式中p为样本率，$\pi_0$为给的总体率（常为理论值或标准值），n为样本含量。

1.2 率的比较

1.2.1 2×2交叉表数据的$\chi^2$检验

方法	情形	计算公式
独立四格表卡方检验	$n\ge 40$且所有的$T\ge 5$ $n\ge 40$且任一理论频数有$1\le T< 5$ 当$n<40$，或任一一个格子理论频数$T<1$时	卡方基本公式、独立四格表专用公式同上、但是需要校正用四格表资料的Fisher确切概率法
正态近似法	$n_1p_1,n_1(1-p_1),n_2p_2,n_2(1-p_2)$均大于5	分子为样本率之差，分母为样本率差的标准误 $S_{p1-p2}$为两个样本率之差的标准误，$p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$为两样本的合并率
校正样本率的正态近似法	当$n_1p_1,n_1(1-p_1),n_2p_2,n_2(1-p_2)$不太大时	同上，但是需要对样本率实施“分子+2、分母+4”的校正

notice：

正态近似法与卡方检验结果是很接近的。在日常计算时，因为计算简便，故常用卡方检验公式。
四格表的自由度为1。
四格表实际频数变动时，若周边合计数保持不变，则理论频数将不会产生变化。
用$n_R$和$n_C$和n分别表示行合计、列合计和总合计，则计算每格理论数的公式为：$T_{RC}=\frac{n_R×n_C}{n}$。
$\chi^2$检验的基本公式：$\chi^2=\sum \frac{(A-T)^2}{T}$。
校正的$\chi^2$检验的基本公式：$\chi^2=\sum \frac{(|A-T|-0.5)^2}{T}$。

1.2.2 配对设计数据的$\chi^2$检验

方法	情形	计算公式
配对四格表卡方检验	当$(b+c)\ge 40$时当$(b+c)<40$时	配对卡方检验专用公式校正配对卡方检验专用公式
配对R×R交叉表数据的$\chi^2$检验	R（$R\ge2$）	$T=\frac{k-1}{k}\sum_{i=1}^{k}\frac{(n_i-m_i)^2}{n_i+m_i-2A_{ii}}$

notice：

配对$\chi^2$检验的基本公式：$\chi^2=\sum \frac{(A-T)^2}{T}=\frac{(b-c)^2}{b+c}$。
若b+c<40,使用校正的配对$\chi^2$检验的基本公式：$\chi^2=\sum \frac{(|b-c|-1)^2}{b+c}$。

1.3 独立性检验

1.3.1 2×2交叉表的独立性检验

建立假设检验，确定检验水准 $H_0$:两变量之间相互独立 $H_1$:两变量之间相互独立 $\alpha=0.05$
计算检验统计量 [^2=_{i,j} ]
确定P值，做出推断
关联系数的计算 [r=]

1.3.2 2×2配对数据的独立性检验

1.3.3 R×C样本率或构成比的比较

类目	内容
假设检验	$H_0$：各组总体率（或构成比）相同。$H_1$：各组总体率（或构成比）不同（不全相同）。
计算公式	卡方检验基本公式，自由度为：$v=(R-1)(C-1)$
数据要求	1. 应用条件：不能有理论频数小于1的格子，或者不能有1/5以上的理论频数大于等于1且小于5 2. 不能进行卡方检验时的解决办法：①增加样本量；②合并或删除理论频数比较小的行或列；③采用Fisher确切概率法
卡方分割	多个率或多个频率分布比较的卡方检验，当结论为拒绝$H_0$时，仅表示多组之间是有差别的。若需要明确研究是那两组之间存在差别，可做率的多重比较，将R×C表分割为若干个小的四格表进行检验，并且需要根据比较的次数合理地修正检验水准$\alpha$，否则将人为地增大犯第一类错误的概率

notice:

多个独立样本率的比较，根据R个独立样本的频率分布，是检验R个二项分布总体的概率是否相同，。假设对四个样本率进行比较，进行$\chi^2$检验，则它的行数为4，列数为2，其自由度为$v=(R-1)×(C-1)=(4-1)(2-1)=3$。
针对行列表资料的$\chi^2$检验，若有$1/5$格子以上的理论频数小于5，即$1\le T\le5$时，应考虑增加样本量，或结合专业知识对行或列进行合并。

--- title: "卡方检验" author: "Simonzhou" date: "2025-02-27" date-modified: "today" execute: echo: true # 在输出中显示代码 eval: true # 执行代码 warning: false # 隐藏警告信息 message: false # 隐藏消息 cache: true # 启用代码缓存 freeze: true # 冻结代码输出 --- # 非参数检验 ## 卡方检验 ### 分类资料差异比较的方法 | 资料特征 | 数据特征 | | 完全随机设计 | | 配对设计 | 随机区组 | |:---------:|:---------:|:----------|:----------|:----------|:----------|:----------| | | | 单组 | 两组 | 多组 | | | | 分类资料 | 无序分类资料 | 二项分布直接计算概率法、正态近似法（Z检验）、率的正态近似 | 独立四格表$\chi^2$检验、Fisher确切概率法 | R×C交叉表$\chi^2$检验、Fisher确切概率法 | 配对四格表$\chi^2$检验，配对R×R列联表$\chi^2$检验 | / | | | 等级资料 | Wilcoxon符合秩和检验 | wilcoxon秩和检验 | Kruskal-Wallis H检验 | Wilcoxon符合秩和检验 | Friedman M秩和检验 | ### 单个率的比较 | 方法 | 内容 | |:---------------------------:|-------------------------------------------| | 确切概率法 | 1\. 适用情形：样本量较小或$\pi_0$不靠近0.5时作单侧检验的情形。 2. 计算公式： (1)最多有k例阳性的概率：$Pr(X\le k)$ (2)最少有k例阳性的概率：$Pr(X\ge k)$ | | 正态近似法 | 1\. 适用情形：样本量较大时，$n\pi,n(1-\pi)$均大于5； 2. 计算公式：分子为$p-\pi_0$，分母为率的标准误 | *notice：*上式中p为样本率，$\pi_0$为给的总体率（常为理论值或标准值），n为样本含量。 ## 率的比较 ### 2×2交叉表数据的$\chi^2$检验 | 方法 | 情形 | 计算公式 | |:-------------------:|:-------------------------|:-------------------------| | 独立四格表卡方检验 | $n\ge 40$且所有的$T\ge 5$ $n\ge 40$且任一理论频数有$1\le T< 5$ 当$n<40$，或任一一个格子理论频数$T<1$时 | 卡方基本公式、独立四格表专用公式 同上、但是需要校正 用四格表资料的Fisher确切概率法 | | 正态近似法 | $n_1p_1,n_1(1-p_1),n_2p_2,n_2(1-p_2)$均大于5 | 分子为样本率之差，分母为样本率差的标准误 $S_{p1-p2}$为两个样本率之差的标准误，$p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$为两样本的合并率 | | 校正样本率的正态近似法 | 当$n_1p_1,n_1(1-p_1),n_2p_2,n_2(1-p_2)$不太大时 | 同上，但是需要对样本率实施“分子+2、分母+4”的校正 | *notice：* 1. 正态近似法与卡方检验结果是很接近的。在日常计算时，因为计算简便，故常用卡方检验公式。 2. 四格表的自由度为1。 3. 四格表实际频数变动时，若周边合计数保持不变，则理论频数将不会产生变化。 4. 用$n_R$和$n_C$和n分别表示行合计、列合计和总合计，则计算每格理论数的公式为：$T_{RC}=\frac{n_R×n_C}{n}$。 5. $\chi^2$检验的基本公式：$\chi^2=\sum \frac{(A-T)^2}{T}$。 6. 校正的$\chi^2$检验的基本公式：$\chi^2=\sum \frac{(|A-T|-0.5)^2}{T}$。 ### 配对设计数据的$\chi^2$检验 | 方法 | 情形 | 计算公式 | |:----------------------:|:-----------------------|:-----------------------| | 配对四格表卡方检验 | 当$(b+c)\ge 40$时 当$(b+c)<40$时 | 配对卡方检验专用公式 校正配对卡方检验专用公式 | | 配对R×R交叉表数据的$\chi^2$检验 | R（$R\ge2$） | $T=\frac{k-1}{k}\sum_{i=1}^{k}\frac{(n_i-m_i)^2}{n_i+m_i-2A_{ii}}$ | *notice：* 1. 配对$\chi^2$检验的基本公式：$\chi^2=\sum \frac{(A-T)^2}{T}=\frac{(b-c)^2}{b+c}$。 2. 若b+c\<40,使用校正的配对$\chi^2$检验的基本公式：$\chi^2=\sum \frac{(|b-c|-1)^2}{b+c}$。 ## 独立性检验 ### 2×2交叉表的独立性检验 1. 建立假设检验，确定检验水准 $H_0$:两变量之间相互独立 $H_1$:两变量之间相互独立 $\alpha=0.05$ 2. 计算检验统计量 \[\chi\^2=\sum\_{i,j}\frac{(A_{ij}-T_{ij})^2}{T_{ij}} \] 3. 确定P值，做出推断 4. 关联系数的计算 \[r=\sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2+n}}\] ### 2×2配对数据的独立性检验 ### R×C样本率或构成比的比较 | 类目 | 内容 | |:-------------------------:|:--------------------------------------------| | 假设检验 | $H_0$：各组总体率（或构成比）相同。$H_1$：各组总体率（或构成比）不同（不全相同）。 | | 计算公式 | 卡方检验基本公式，自由度为：$v=(R-1)(C-1)$ | | 数据要求 | 1\. 应用条件：不能有理论频数小于1的格子，或者不能有1/5以上的理论频数大于等于1且小于5 2. 不能进行卡方检验时的解决办法：①增加样本量；②合并或删除理论频数比较小的行或列；③采用Fisher确切概率法 | | 卡方分割 | 多个率或多个频率分布比较的卡方检验，当结论为拒绝$H_0$时，仅表示多组之间是有差别的。若需要明确研究是那两组之间存在差别，可做率的多重比较，将R×C表分割为若干个小的四格表进行检验，并且需要根据比较的次数合理地修正检验水准$\alpha$，否则将人为地增大犯第一类错误的概率 | *notice:* 1. 多个独立样本率的比较，根据R个独立样本的频率分布，是检验R个二项分布总体的概率是否相同，。假设对四个样本率进行比较，进行$\chi^2$检验，则它的行数为4，列数为2，其自由度为$v=(R-1)×(C-1)=(4-1)(2-1)=3$。 2. 针对行列表资料的$\chi^2$检验，若有$1/5$格子以上的理论频数小于5，即$1\le T\le5$时，应考虑增加样本量，或结合专业知识对行或列进行合并。